4.4.3. Дискретное преобразование Фурье



В предыдущем разделе рассказывалось о возможностях символьного процессора Mathcad, позволяющего осуществить аналитическое преобразование Фурье функции, заданной формулой. Между тем огромный пласт задач вычислительной математики связан с расчетом интегралов Фурье для функций, либо заданных таблично (например, представляющих собой результаты какого-либо эксперимента), либо функций, проинтегрировать которые аналитически не удается. В данном случае вместо символьных преобразований приходится применять численные методы интегрирования, связанные с дискретизацией подынтегральной функции и называемые потому дискретным Фурье-преобразованием.

В численном процессоре Mathcad дискретное преобразование Фурье реализовано при помощи популярнейшего алгоритма быстрого преобразования Фурье (сокращенно БПФ). Этот алгоритм реализован в нескольких встроенных функциях Mathcad, различающихся только нормировками:

  •  fft(y) — вектор прямого преобразования Фурье;
  •  FFT (у) — вектор прямого преобразования Фурье в другой нормировке;
  •  ifft (w) — вектор обратного преобразования Фурье;
  •  IFFT (w) — вектор обратного преобразования Фурье в другой нормировке:

  •  у — вектор действительных данных, взятых через равные промежутки значений аргумента;
  •  w — вектор действительных данных Фурье-спектра, взятых через равные промежутки значений частоты.


ВНИМАНИЕ!

Аргумент прямого Фурье-преобразования, т. е. вектор у, должен иметь ровно 2n элементов (n — целое число). Результатом является вектор с 1+2n-1 элементами. И наоборот, аргумент обратного Фурье-преобразования должен иметь 1+2n-1 элементов, а его результатом будет вектор из 2n элементов. Если число данных не совпадает со степенью 2, то необходимо дополнить недостающие элементы нулями.



В листинге 4.14 показан пример расчета Фурье-спектра для модельной функции f (x), представляющей собой сумму двух синусоид разной амплитуды (верхний график на рис. 4.10). Расчет проводится по N=128 точкам, причем предполагается, что интервал дискретизации данных уi равен h. В предпоследней строке листинга корректно определяются соответствующие значения частот W, а в последней применяется встроенная функция FFT. Полученный график Фурье-спектра показан на рис. 4.10 (снизу). Обратите внимание, что результаты расчета представляются в виде его модуля, поскольку сам спектр, как уже отмечалось, является комплексным. Очень полезно сравнить полученные амплитуды и местоположение пиков спектра с определением синусоид в начале листинга.

ПРИМЕЧАНИЕ

Более подробную информацию о свойствах и практике применения Фурье-преобразования вы найдете в главе 14.


Листинг 4.14. Дискретное преобразование Фурье (алгоритм БПФ) модельнго сигнала




Рис. 4.10. Модельная функция и ее преобразование Фурье (продолжение листинга 4.14)

 
kompensatory do wspawania, do wspawania 11 ko?nierzowe dodaj do przechowalni pole? znajomemu