8.3. Матричные разложения



Современная вычислительная линейная алгебра — бурно развивающаяся наука. Главная проблема линейной алгебры — это решение систем линейных уравнений. В настоящее время разработано множество методов, упрощающих эти задачи, которые, в частности, зависят от структуры матрицы СЛАУ. Большинство методов основано на представлении матрицы в виде произведения других матриц специального вида, или матричных разложениях (или, по-другому, факторизация*). Как правило, после определенного разложения матрицы задача решения СЛАУ существенно упрощается. Кроме того, прибегая к определенным разложениям матриц, можно получить универсальный вид решения, как для "хороших" (см. разд. 8.1), так и для "плохих" (см. разд. 8.2) СЛАУ.

В Mathcad имеется несколько встроенных функций, реализующих алгоритмы наиболее популярных матричных разложений; и мы рассмотрим их вместе с соответствующими типовыми задачами решения СЛАУ. Однако вначале сделаем некоторые важные замечания о решении систем с треугольной матрицей.